Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$sinωx），$\overrightarrow{b}$=（cos²ωx-1，cosωx）（ω＞0），设函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的最小正周期为π
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在[0，$\frac{2}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）直接利用平面向量的数量积运算得到f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$．由周期公式求得ω的值；
（2）利用x∈[0，$\frac{π}{3}$]，求出相位的范围，则函数f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上的值域可求．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$sinωx），$\overrightarrow{b}$=（cos²ωx-1，cosωx）（ω＞0），
得f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cos²ωx-1+$\sqrt{3}$sinωx•cosωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2$ωx+$\frac{1}{2}cos$2ωx-$\frac{1}{2}$
=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$．
∵函数f（x）的最小正周期为π，
∴$\frac{2π}{2ω}=π$，即ω=1；
（2）f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$．
∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$]，
∴f（x）∈[0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数的图象和性质，是基础题．