Question

7．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$是两个单位向量，且|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|（其中k＞0），
（1）$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$能垂直吗？
（2）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由向量的平方即为模的平方，结合向量垂直的条件：数量积为0，即可判断；
（2）运用向量数量积的定义，解方程即可得到．

解答 解：（1）∵|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|，
∴（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=3（$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$）²，
即（k²-3）$\overrightarrow{a}$²+（1-3k²）$\overrightarrow{b}$²+8k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，可得：$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$，
∵k²+1≠0，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≠0，
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不能垂直；
（2）∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为60°，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos60°=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$=$\frac{1}{2}$，∴k=1．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及垂直的条件：数量积为0，属于基础题．