题目内容
16.若实数a,b,c满足2a+4b=2c,4a+2b=4c,求c的最小值.分析 利用消元法消去2a,结合三个数的基本不等式进行求解即可.
解答 解:∵2a+4b=2c,
∴2a=2c-4b,
∵4a+2b=4c,
∴(2c-4b)2+2b=4c,
整理得${2}^{c+1}=\frac{{2}^{b}+{4}^{2b}}{{4}^{b}}$=$\frac{1}{{2}^{b}}+{2}^{2b}$=$\frac{1}{{2}^{b+1}}+\frac{1}{{2}^{b+1}}+{2}^{2b}$$≥3\root{3}{\frac{1}{{2}^{b+1}}•\frac{1}{{2}^{b+1}}•{2}^{2b}}$=$\frac{3\root{3}{2}}{2}$,
于是c≥log2$\frac{3\root{3}{2}}{2}$-1=log23-$\frac{5}{3}$,
当b=-$\frac{1}{3}$,a=-$\frac{5}{3}$时,c=log23-$\frac{5}{3}$,
即c的最小值为log23-$\frac{5}{3}$.
点评 本题主要考查基本不等式的应用,结合对数的运算法则是解决本题的关键.
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