题目内容
2．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）=$\frac{x^2}{4}+\frac{4}{x^2}$+2，数列{an}满足a1=2，an+1+2=$\sqrt{f（{a}_{n}+2）}$，an＞0，n∈N*．求证：a1+a2+…+an＜$\frac{8}{3}$（n∈N*）．分析 由已知条件推导出an+1=$\frac{{a}_{n}+2}{2}+\frac{2}{{a}_{n}+2}$-2，再求出数列的前四项，由此结合数列的单调性能证明a1+a2+…+an＜$\frac{8}{3}$（n∈N*）．
解答 证明：∵定义在（0，+∞）上的函数f（x）=$\frac{x^2}{4}+\frac{4}{x^2}$+2=（$\frac{x}{2}+\frac{2}{x}$）2，
数列{an}满足a1=2，an+1+2=$\sqrt{f（{a}_{n}+2）}$，an＞0，n∈N*．
∴an+1+2=$\sqrt{f（{a}_{n}+2）}$=$\sqrt{（\frac{{a}_{n}+2}{2}+\frac{2}{{a}_{n}+2}）^{2}}$=$\frac{{a}_{n}+2}{2}+\frac{2}{{a}_{n}+2}$，
∴an+1=$\frac{{a}_{n}+2}{2}+\frac{2}{{a}_{n}+2}$-2，
∴${a}_{2}=\frac{2+2}{2}+\frac{2}{2+2}-2=\frac{1}{2}$，
${a}_{3}=\frac{\frac{1}{2}+2}{2}+\frac{2}{\frac{1}{2}+2}-2$=$\frac{1}{20}$，
${a}_{4}=\frac{\frac{1}{20}+2}{2}+\frac{2}{\frac{1}{20}+2}-2$=$\frac{1}{1640}$，
$\frac{8}{3}$-（a1+a2+a3）=$\frac{8}{3}-（2+\frac{1}{2}+\frac{1}{20}）$=$\frac{7}{60}$＞${a}_{4}=\frac{1}{1640}$，
∵{an}是减数列，n→+∞时，an→0，
∴a1+a2+…+an＜$\frac{8}{3}$（n∈N*）．
点评 本题考查数列的前n项和小于$\frac{8}{3}$的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质、完全平方和公式的合理运用．
