Question

4．设F₁，F₂分别为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF₁NF₂为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为$\frac{1}{2}{c}^{2}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设M（x，$\frac{b}{a}$x），由题意，|MO|=c，则x=a，∴M（a，b），利用△AMN的面积为$\frac{1}{2}{c}^{2}$，建立方程，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：设M（x，$\frac{b}{a}$x），由题意，|MO|=c，则x=a，∴M（a，b），
∵△AMN的面积为$\frac{1}{2}{c}^{2}$，
∴$\frac{1}{2}•a•b=\frac{1}{4}{c}^{2}$，
∴4a²（c²-a²）=c⁴，
∴e⁴-4e²+4=0，
∴e=$\sqrt{2}$．
故选D．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．