Question

9．若函数f（x）=$\frac{|x|-1}{|x-1|}$-kx不存在零点，则实数k的取值范围是[-1，$\frac{\sqrt{2}-3}{7}$）．

Answer 1

分析 令f（x）=0得$\frac{|x|-1}{|x-1|}$=kx，作出g（x）与y=kx的函数图象，根据图象判断k的范围．

解答 解：令f（x）=0得$\frac{|x|-1}{|x-1|}$=kx，
令g（x）=$\frac{|x|-1}{|x-1|}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞1}\\{-1，0≤x＜1}\\{\frac{2}{x-1}+1，x＜0}\end{array}\right.$，作出g（x）与y=kx的函数图象如图所示：

设y=k₁x经过点（1，-1），则k₁=-1，
设y=k₂x与g（x）在（-∞，0）上的图象相切，切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-2}{（{x}_{0}-1）^{2}}={k}_{2}}\\{{y}_{0}={k}_{2}{x}_{0}}\\{{y}_{0}=\frac{2}{{x}_{0}-1}+1}\end{array}\right.$，解得x₀=-1-$\sqrt{2}$，k₂=$\frac{\sqrt{2}-3}{7}$，
∴-1≤k＜$\frac{\sqrt{2}-3}{7}$时，直线y=kx与g（x）的图象无交点，即f（x）无零点．
故答案为[-1，$\frac{\sqrt{2}-3}{7}$）．

点评 本题考查了函数零点的个数判断，零点个数与函数图象的关系，属于中档题．