Question

1．若函数f（x）=（x+$\frac{7}{x}$-5）e^x-$\frac{a}{x}$有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [e²，3e]
• B． （e²，3e）
• C． （7，3e]
• D． （e²，7）∪（7，3e）

Answer 1

分析 利用参数分离法求出a=（x²-5x+7）e^x，（x≠0），然后构造函数g（x）=（x²-5x+7）e^x，（x≠0），求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：若函数f（x）=（x+$\frac{7}{x}$-5）e^x-$\frac{a}{x}$有三个零点，
则函数f（x）=（x+$\frac{7}{x}$-5）e^x-$\frac{a}{x}$=0，即a=（x²-5x+7）e^x，（x≠0），
设g（x）=（x²-5x+7）e^x，（x≠0），
则函数的导数g′（x）=（2x-5）e^x+（x²-5x+7）e^x=（x²-3x+2）e^x，
（x≠0），
由f′（x）＞0得x＞2或x＜1且x≠0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得1＜x＜2，此时函数单调递减，
即当x=1时，函数取得极大值g（1）=3e，
当x=2时，函数取得极小值g（2）=e²，
则要使y=a与y=g（x）有三个交点，
则e²＜a＜3e，
故实数a的取值范围是（e²，3e），
故选：B．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法结合构造法构造函数，求出函数的极值，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．