Question

已知椭圆两焦点坐标分别为,，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知点，直线与椭圆交于两点．若△是以为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆标准方程为．依题意

，所以．

又，所以．

于是椭圆的标准方程为．             

（Ⅱ）依题意，显然直线斜率存在.设直线的方程为，则

由得．

因为,得．  ……………… ①

设，线段中点为，则

于是．

因为，线段中点为，所以．

（1）当，即且时，

，整理得．      ………………②

因为，，

所以

，

整理得，解得或．

当时，由②不合题意舍去.

由①②知，时，．

（2）当时，

（ⅰ）若时，直线的方程为，代入椭圆方程中得.

设，,依题意，若△为等腰直角三角形，则

.即，解得或.不合题意舍去，

即此时直线的方程为.

（ⅱ）若且时，即直线过原点.依椭圆的对称性有,则依题意不能有,即此时不满足△为等腰直角三角形.

综上，直线的方程为或或.