Question

14．已知函数f（x）=lg（x+$\frac{a}{x}$）（a∈R）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）若a＜0，集合A={y|y=f（x），$\frac{1}{2}$≤x≤2}，B=[-1，1]，且A⊆B，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得即 $\frac{{x}^{2}+a}{x}$＞0，分类讨论a的值，求得x的范围．
（2）当a＜0时，函数f（x）=lg（x+$\frac{a}{x}$）在[$\frac{1}{2}$，2]上是增函数，求得f（x）的值域，可得A的值，再根据A⊆B，求得a的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=lg（x+$\frac{a}{x}$），∴x+$\frac{a}{x}$＞0，即 $\frac{{x}^{2}+a}{x}$＞0 ①，
当a=0时，由①求得x＞0，函数的定义域为{x|x＞0}．
当a＜0时，①即$\frac{（x+\sqrt{-a}）（x-\sqrt{-a}）}{x}$＞0，求得-$\sqrt{-a}$＜x＜0，或x＞$\sqrt{-a}$，故函数的定义域为{x|-$\sqrt{-a}$＜x＜0，或x＞$\sqrt{-a}$ }．
当a＞0时，由①求得x＞0．
综上可得，对于函数f（x）：当a≥0时，定义域为{x|x＞0}；当a＜0时，定义域为{x|-$\sqrt{-a}$＜x＜0，或x＞$\sqrt{-a}$ }．
（2）当a＜0时，由x∈[$\frac{1}{2}$，2]，可得函数f（x）=lg（x+$\frac{a}{x}$）是增函数，故f（x）∈[lg（$\frac{1}{2}$+2a），lg（2+$\frac{a}{2}$）]，
故A=[lg（$\frac{1}{2}$+2a，lg（2+$\frac{a}{2}$）]．
再根据A⊆B，可得lg（$\frac{1}{2}$+2a ）≥-1，且lg（2+$\frac{a}{2}$）]≤1，求得-$\frac{1}{5}$≤a≤16．

点评 本题主要考查函数的定义域、单调性，求函数的值域，集合间的包含关系的应用，属于基础题．