题目内容
17．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为$\sqrt{3}$，则四面体ABCD外接球的表面积为（ ）| A． | 6π | B． | 7π | C． | 8π | D． | $\frac{{7\sqrt{7}}}{6}π$ |
分析 三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．
解答 解：根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，而且AD=$\sqrt{3}$，
三棱柱中，底面边长为1，1，$\sqrt{3}$，外接圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2sin120°}$=1
∴球的半径为r=$\sqrt{1+\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$
四面体ABCD外接球表面积为：4π×$\frac{7}{4}$=7π．
故选：B．
点评 本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．
练习册系列答案
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