题目内容

已知f（x）=2sin（x+ $数学公式$ ）cos（x+ $数学公式$ ）+2 $数学公式$ cos²（x+ $数学公式$ ）- $数学公式$
（1）化简f（x）的解析式；
（2）若0≤θ≤π，求θ使函数f（x）为奇函数；
（3）在（2）成立的条件下，求满足f（x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

解：（1）f（x）=sin（2x+θ）+2 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =sin（2x+θ）+ $\text{[math]}$ cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+ $\text{[math]}$ ）．
（2）由函数f（x）为奇函数可得 f（0）=0，所以2sin（θ+ $\text{[math]}$ ）=0，即θ+ $\text{[math]}$ =kπ，k∈z，由 0≤θ≤π，所以θ= $\text{[math]}$ ．
（3）f（x）=2sin（2x+θ+ $\text{[math]}$ ）=-2sin2x=1，所以sin2x=- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，所以，x=kπ- $\text{[math]}$ 或 x=kπ+ $\text{[math]}$ ，
在x∈[-π，π]中， $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）利用二倍角的正弦公式得 2sin（x+ $\text{[math]}$ ）cos（x+ $\text{[math]}$ ）=sin（2x+θ），再由二倍角的余弦公式得2 $\text{[math]}$ cos²（x+ $\text{[math]}$ ）=
$\text{[math]}$ cos（2x+θ）+ $\text{[math]}$ ，再利用两角和的正弦公式进行化简．
（2）由函数f（x）为奇函数可得 f（0）=0，即 2sin（θ+ $\text{[math]}$ ）=0，即θ+ $\text{[math]}$ =kπ，k∈z，根据 0≤θ≤π，求出θ 的值．
（3）由f（x）=1，化简可得sin2x=- $\text{[math]}$ ，故有 $\text{[math]}$ ，解出x．
点评：本题考查二倍角的三角公式、两角和的正弦公式的应用，正弦函数的奇偶性，已知三角函数值求角．