Question

设函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对任意正实数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1且x＞1时f（x）＞0．
（1）求f（

1

2

）的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；
（3）一个各项均为正数的数列{a_n}满足f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N^*），其中S_n是数列{a_n}的前n项和，求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法求值．
（2）利用单调性的定义证明函数的单调性；注意应用抽象函数的相关性质．
（3）先得出和与通项的关系S_n=

an(an+1)

2

，（n∈N^*），得出S _n-1=

an-1(an-1+1)

2

，n≥2，两式相减，得出数列递推式，再去变形，求通项公式．

解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=0
而令x=2，y=

1

2

，得f（1）=f（2）+f（

1

2

）
∴f（

1

2

）=-f（2）=-1，（4分）
（2）在（0，+∞）上任取两数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
令

x2

x1

=k，则f（k）＞0
∴f（x₂）=f（kx₁）=f（k）+f（x₁）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．（8分）
（3）f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N^*）
=f（a_n）+f（a_n+1）+f（

1

2

）
=f[

an(an+1)

2

]，
由于f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
∴S_n=

an(an+1)

2

，n∈N^*）
∴S _n-1=

an-1(an-1+1)

2

，n≥2
两式相减，有

a 2 n - a 2 n-1 +an-an-1

2

=a_n，
整理得（a_n+a_n-1）（a _n-a _n-1-1）=0
∵a_n＞0，∴a _n-a _n-1-1=0，a _n-a _n-1=1，n≥2
所以数列{a_n}是公差为1的等差数列，
当n=1时，a₁=S₁=

a1(a1+1)

2

，a₁=1
∴a_n=n        （14分）

点评：本题考查抽象函数的单调性，考查数列与函数的综合，考查单调性的证明，考查数列通项的求解，正确理解题意是关键．