Question

【题目】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上，且⊥，△F1MF2的面积为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知直线l与椭圆C交于A，B两点，，若直线l始终与圆相切，求半径r的值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】

（1）由椭圆离心率为，点M在椭圆C上，且MF2⊥F1F2，△F1MF2的面积为，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．

（2）设直线l的方程为y＝kx+m，代入椭圆方程式，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由此利用韦达定理、根的判别式、点到直线的距离公式能求出半径的r的值．

(1)设，由题意得

∴，

故椭圆C的方程为.

(2)当直线l的斜率存在时，设其直线方程为，设A(，)，B(，)，

联立方程组，整理得，

由方程的判别式△＝64k2m2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，

得(1)

，，由∠AOB=90°，得

即

而，则

∴

整理得

把代入(1)得.

而，∴，显然满足，

直线l始终与圆相切，得圆心(0，0)到直线l的距离d=r，

则，

由，得

∵，∴.

当直线l的斜率不存在时，若直线l与圆相切，此时直线l的方程为.

∴

综上所述：.