Question

椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的离心率为e，则过点（1，e）且被圆x²+y²-4x-4y+4=0截得的最长弦所在的直线的方程是（　　）

A．3x+2y-4=0

B．4x+6y-7=0

C．3x-2y-2=0

D．4x-6y-1=0

Answer 1

分析：由于椭圆的方程可得离心率为e=

1

2

，故所求的直线经过点A（1，

1

2

），显然点A（1，

1

2

）在圆内．要使直线被圆截得的弦长最长，只有直线经过圆心C．求得直线的斜率K_AC 的值，利用点斜式求得所求直线的方程．

解答：解：由于椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的离心率为e=

c

a

=

1

2

，故所求的直线经过点A（1，

1

2

）．
圆x²+y²-4x-4y+4=0 即 （x-2）²+（y-2）²=4，圆心为C（2，2），半径等于2，显然 点A（1，

1

2

）在圆内．
要使直线被圆截得的弦长最长，只有直线经过圆心C．
由于直线的斜率为 K_AC=

2- 1 2

2-1

=

3

2

，故所求直线的方程为 y-

1

2

=

3

2

（x-1），即 3x-2y-2=0，
故选C．

点评：本题主要考查椭圆的简单性质，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．