Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=l（a＞b＞0）与双曲线$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}$=l=1（m＞0，n＞0）有相同的焦点F₁（-c，O）和F₂ （c，0），点P是椭圆与双曲线的一个交点，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，若$\frac{1}{2}$a²是m²与c²的等差中项，则该椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 利用椭圆、双曲线的定义，结合勾股定理、等差数列的性质，即可求出椭圆的离心率．

解答 解：不妨设|PF₁|＞|PF₂|，由已知可得$\left\{\begin{array}{l}|P{F_1}|+|P{F_2}|=2a\\|P{F_1}|-|P{F_2}|=2m\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}|P{F_1}|=a+m\\|P{F_1}|=a-m\end{array}\right.$．
又$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{2}$，∴（a+m）²+（a-m）²=4c²，
∴a²+m²=2c²，联立a²=c²+m²，得${a^2}=\frac{3}{2}{c^2}$，
即椭圆离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的离心率，考查椭圆、双曲线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．