Question

6．已知函数f（x）=x²-2|a+2|x+a²+4a+6，g（x）=x-a+6，a∈R．
（1）若函数f（x）满足f（2-x）=f（2+x）恒成立，求实数a的值；
（2）设函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≤g（x）}\\{g（x），f（x）＞g（x）}\end{array}\right.$，若对任意实数a∈[-1，3]，存在x₀∈[-1，3]使不等式h（x₀）≤m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质和函数的对称轴即可求出a的值，
（2）对任意实数a∈[-1，3]，存在x₀∈[-1，3]使不等式h（x₀）≤m成立，先求出h（x）的最小值，即可求出m的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）满足f（2-x）=f（2+x）恒成立，
∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，
故|a+2|=2，解得a=0或a=-4，
（2）∵a∈[-1，3]，
∴f（x）=x²-2（a+2）x+a²+4a+6，
∵f（x）-g（x）=x²-（2a+5）x+a²+5a=（x-a）[（x-（a+5）]，
∴h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），a≤x≤a+5}\\{g（x），x≤a或x≥a+5}\end{array}\right.$
∵-1≤a≤3，
∴1≤a+2≤5，4≤a+5≤8，
①∵1≤a≤3时，此时a+2≥3
∴h（x）在[-1，a]上单调递增，在[a，3]上单调递减，
∴h（x）_min={h（-1），h（3）}=min{5-a，a²-2a+3}，
当1≤a≤2时，5-a≥a²-2a+3，得h（x）_min=a²-2a+3，
当2＜a≤3时，5-a＜a²-2a+3，得h（x）_min=5-a，
②-1≤a＜1时，此时a+2＜3，
∴h（x）在[-1，a]上单调递增，在[a，a+2]上单调递减，在[a+2，3]上单调递增，
∴h（x）_min={h（-1），h（a=2）}=min{5-a，2}，
此时5-a＞2恒成立，
∴h（x）_min=2，
令H（a）=h（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2a+3，1≤a≤2}\\{5-a，2＜a≤3}\\{2，-1≤a＜1}\end{array}\right.$，
易知当a=2时，H（a）_max=3，
故m≥3．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，函数的最值，分类讨论的思想，难度中档．