Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=$\frac{1}{3}$PC，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求平面MBQ与平面CBQ夹角的大小．

Answer 1

分析 （1）由题意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而AD⊥平面PQB，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MBQ与平面CBQ的夹角．

解答 证明：（1）由题意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）∵PA=PD=AD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，
建立如图所求的空间直角坐标系，
由题意知：Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-2，$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{QM}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{QP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{QC}$=（-$\frac{2}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
设$\overrightarrow{n}$是平面MBQ的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{QM}=-\frac{2}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}y+\frac{2\sqrt{3}}{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
又∵$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）平面BQC的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{1}{2}$，
∴平面MBQ与平面CBQ夹角为60°．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．