Question

在△ABC中，求证：tan

A

2

tan

B

2

+tan

B

2

tan

C

2

+tan

C

2

tan

A

2

=1．并利用其求值：tan40°tan15°+tan15°tan35°+tan35°tan40°．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：在△ABC中，A+B+C=π，逆用两角和的正切，可得（tan

B

2

+tan

C

2

）=tan（

B

2

+

C

2

）（1-tan

B

2

tan

C

2

）=cot

A

2

（1-tan

B

2

tan

C

2

），即可证得结论成立，从而可知tan40°tan15°+tan15°tan35°+tan35°tan40°的值．

解答： 解：在△ABC中，∵A+B+C=π，
∴tan

A

2

tan

B

2

+tan

B

2

tan

C

2

+tan

C

2

tan

A

2

=tan

A

2

（tan

B

2

+tan

C

2

）+tan

B

2

tan

C

2

=tan

A

2

•tan（

B

2

+

C

2

）（1-tan

B

2

tan

C

2

）+tan

B

2

tan

C

2

=tan

A

2

•cot

A

2

（1-tan

B

2

tan

C

2

）+tan

B

2

tan

C

2

=（1-tan

B

2

tan

C

2

）+tan

B

2

tan

C

2

=1．
∵40°=

80°

2

，15°=

30°

2

，35°=

70°

2

，80°+30°+70°=180°，
∴tan40°tan15°+tan15°tan35°+tan35°tan40°=1．

点评：本题考查两角和与差的正切函数，考查诱导公式与运算能力，属于中档题．