Question

已知：正四棱锥S-ABCD的棱长均为13，E，F分别是SA，BD上的点，且SE：EA=BF：FD=5：8．
（1）求证：EF∥平面SBC；
（2）求四棱锥S-ABCD的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）如图所示，取点G，使BG：GA=5：8，EG∥SB，GF∥BC，得到平面EFG∥平面SBC，问题得以证明
（2）如图，连接AC，BD相交于点O，连接SO，可以得到SO是正四棱锥S-ABCD的高，再根据棱锥的体积公式计算即可

解答： 解：（1）证明：如图所示，取点G，使BG：GA=5：8．
∵SE：EA=BF：FD=5：8．
∴EG∥SB，GF∥AD，
∵底面ABCD的为正方形，
∴AD∥BC，
∴GF∥BC，
∵EG∩GF=G，SB∩BC=C，EG，GF?平面EFG，SB，BC?平面SBC，
∴平面EFG∥平面SBC，
∵EF?平面EFG，EF?平面SBC，
∴EF∥平面SBC
（2）如图，连接AC，BD相交于点O，连接SO，
∴O点AC，BD的中点，
∵SA=SB=SC=SD，
∴SO⊥AC，SO⊥BD，
∴SO⊥底面ABCD，
即SO是正四棱锥S-ABCD的高，
∵正四棱锥S-ABCD的棱长均为13，
∴AO=

1

2

AC=

1

2

AB2+BC2

=

13 2

2

，
∴SO=

SA2-AO2

=

13 2

2

，

2197 2

6

∵S_底面ABCD=AB•BC=13×13=169，
∴V_{四棱锥S-ABCD}=

1

3

×169×

13 2

2

=

2197 2

6

点评：本题考查线面平行的证明，体积的计算，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题