Question

已知等差数列{a_n}的首项为10，公差为2，等比数列{b_n}的首项为1，公比为2，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设第n个正方形的边长为C_n=min{a_n，b_n}，求前n个正方形的面积之和S_n．（注：min{a，b}表示a与b的最小值．）

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）直接利用等差数列、等比数列的通项公式，即可求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）先证明当n≥6时，不等式b_n＞a_n成立，再用分组求和法，求出前n个正方形的面积之和S_n．

解答： 解：（1）因为等差数列{a_n}的首项为10，公差为2，
所以a_n=10+（n-1）×2，即a_n=2n+8．
因为等比数列{b_n}的首项为1，公比为2，
所以bn=1×2n-1，即bn=2n-1．
（2）因为a₁=10，a₂=12，a₃=14，a₄=16，a₅=18，a₆=20，b₁=1，b₂=2，b₃=4，b₄=8，b₅=16，b₆=32．
易知当n≤5时，a_n＞b_n．
下面证明当n≥6时，不等式b_n＞a_n成立．
方法1：①当n=6时，b6=26-1=32＞20=2×6+8=a₆，不等式显然成立．
②假设当n=k（k≥6）时，不等式成立，即2^k-1＞2k+8．
则有2^k=2×2^k-1＞2（2k+8）=2（k+1）+8+（2k+6）＞2（k+1）+8．
这说明当n=k+1时，不等式也成立．
综合①②可知，不等式对n≥6的所有整数都成立．
所以当n≥6时，b_n＞a_n．
方法2：因为当n≥6时bn-an=2n-1-(2n+8)=(1+1)n-1-(2n+8)=(

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

+…+

C

n-1 n-1

)-(2n+8)≥(

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

+

C

n-3 n-1

+

C

n-2 n-1

+

C

n-1 n-1

)-(2n+8)
=2(

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

)-(2n+8)=n²-3n-6=n（n-4）+（n-6）＞0，
所以当n≥6时，b_n＞a_n．
所以n≤5时，Sn=c12+c22+c32+…+cn2=b12+b22+b32+…+bn2
=2⁰+2²+2⁴+…+2^2n-2=

1-4n

1-4

=

1

3

(4n-1)．
当n＞5时，Sn=c12+c22+c32+…+cn2
=(b12+b22+…+b52)+(a62+a72+…+an2)=

1

3

(45-1)+4[（6+4）²+（7+4）²+…+（n+4）²]
=341+4[（6²+7²+…+n²）+8（6+7+…+n）+16（n-5）]
=341+4[（1²+2²+…+n²）-（1²+2²+…+5²）]+32（6+7+…+n）+64（n-5）
=341+4[

n(n+1)(2n+1)

6

-55]+32×

(6+n)(n-5)

2

+64(n-5)=

4

3

n3+18n2+

242

3

n-679．
综上可知，S_n=

1 3 (4n-1)，n≤5 4 3 n3+18n2+ 242 3 n-679，n＞5.

点评：本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识．