Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，

Sn

n

)(n∈N*)均在函数y=

1

2

x+

1

2

的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

anan+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，利用函数性质得到S_n=

1

2

n2+

1

2

n，由此利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出a_n=n．
（2）由a_n=n，推导出bn=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能求出T_n．

解答： 解：（1）∵点(n，

Sn

n

)(n∈N*)均在函数y=

1

2

x+

1

2

的图象上，
∴

Sn

n

=

1

2

n+

1

2

，
∴S_n=

1

2

n2+

1

2

n，
∴a₁=S₁=

1

2

+

1

2

=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（

1

2

n2-

1

2

n）-[

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)]=n，
当n=1时，a₁=1满足上式，
∴a_n=n．
（2）∵a_n=n，
∴bn=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
即数列{b_n}的前n项和T_n=

n

n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．