Question

7．设命题p：f（x）=$\frac{2}{x-m}$在区间（1，+∞）上是减函数；命题q：2^x-1+2m＞0对任意x∈R恒成立．若（￢p）∧q为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p为真，则m≤1；若命题q为真，则m＞0.5．若（?p）∧q为真，则p假q真，由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：若命题p为真，即f（x）=$\frac{2}{x-m}$在区间（1，+∞）上是减函数，
f（x）的减区间为（-∞，m）与（m，+∞），
∴（1，+∞）⊆（m，+∞），则m≤1．…（4分）
若命题q为真，2^x-1+2m＞0对任意x∈R恒成立，则2m＞1-2^x
∵2^x＞0，∴1-2^x＜1，即m＞0.5…（8分）
若（?p）∧q为真，则p假q真，
∴$\left\{\begin{array}{l}m＞1\\ m＞0.5\end{array}\right.$，解得m＞1．
故实数m的取值范围是（1，+∞）．…（12分）

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的单调性、指数函数的性质、命题的真假判断等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．