Question

（2013•静安区一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A、B、C所对的边长，且acosB-bcosA=

3

5

c．
（1）求：

tanA

tanB

的值；
（2）若A=60°，c=5，求a、b．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，由条件利用正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=

3

5

sinC．又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，可得

2

5

sinAcosB=

8

5

sinBcosA，由此可得

tanA

tanB

的值．
（2）由A=60°可得sin60°、cos60°、tan60°的值，再由（1）可得tanB=

3

4

，进而可得sinB、cosB的值．利用诱导公式求得sinC的值，再利用正弦定理求得a、b．

解答：解：（1）△ABC中，由条件利用正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
可得sinAcosB-sinBcosA=

3

5

sinC．（2分）
又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以，

2

5

sinAcosB=

8

5

sinBcosA，（5分）
可得

tanA

tanB

=

sinAcosB

sinBcosA

=4．（7分）
（2）若A=60°，则sinA=

3

2

，cosA=

1

2

，tanA=

3

，
再由（1）可得tanB=

3

4

，进而可得cosB=

4 19

19

，sinB=

3×19

19

．（10分）
故sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

5 3×19

38

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

 得 a=

c

sinC

•sinA=

19

，b=

c

sinC

•sinB=2．（14分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理的应用，属于中档题．