题目内容
(2013•静安区一模)已知O是△ABC外接圆的圆心,A、B、C为△ABC的内角,若
+
=2m•
,则m的值为( )
cosB |
sinC |
AB |
cosC |
sinB |
AC |
AO |
分析:根据题意画出相应的图形,取AB的中点为D,根据平面向量的三角形法则可得
=
+
,利用外接圆的性质可得OD⊥AB,
•
=0.由向量共线定理可得
•
=
2=
c2.等式两边同时与向量
作数量积,再利用正弦定理及两角和的余弦公式即可得出.
AO |
AD |
DO |
AB |
OD |
AD |
AB |
1 |
2 |
AB |
1 |
2 |
AB |
解答:解:如图所示,取线段AB的中点D,连接DO,则
=
+
,∵点O是三角形ABC的外接圆的圆心,∴OD⊥AB,∴
•
=0.
•
=
2=
c2.
对等式
+
=2m•
两边与向量
作数量积,得
2+
•
=2m(
+
)•
,
化为
c2+
bccosA=mc2,∴
+
•
=m.
由正弦定理得
=
,∴
=
.
∴m=
=
=sinA,
故选B.
AO |
AD |
DO |
AB |
OD |
AD |
AB |
1 |
2 |
AB |
1 |
2 |
对等式
cosB |
sinC |
AB |
cosC |
sinB |
AC |
AO |
AB |
cosB |
sinC |
AB |
cosC |
sinB |
AC |
AB |
AD |
DO |
AB |
化为
cosB |
sinC |
cosC |
sinB |
cosB |
sinC |
cosCcosA |
sinB |
b |
c |
由正弦定理得
b |
sinB |
c |
sinC |
b |
c |
sinB |
sinC |
∴m=
cosB+cosCcosA |
sinC |
-cos(A+C)+cosCcosA |
sinC |
故选B.
点评:本题综合考查了三角形的外接圆的性质、向量的三角形法则、数量积运算、正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的圆心公式等基础知识与基本技能,考查了数形结合的能力、推理能力、计算能力.
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