题目内容

(2013•静安区一模)已知O是△ABC外接圆的圆心,A、B、C为△ABC的内角,若
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m•
AO
,则m的值为(  )
分析:根据题意画出相应的图形,取AB的中点为D,根据平面向量的三角形法则可得
AO
=
AD
+
DO
,利用外接圆的性质可得OD⊥AB,
AB
OD
=0
.由向量共线定理可得
AD
AB
=
1
2
AB
2
=
1
2
c2
.等式两边同时与向量
AB
作数量积,再利用正弦定理及两角和的余弦公式即可得出.
解答:解:如图所示,取线段AB的中点D,连接DO,则
AO
=
AD
+
DO
,∵点O是三角形ABC的外接圆的圆心,∴OD⊥AB,∴
AB
OD
=0

AD
AB
=
1
2
AB
2
=
1
2
c2

对等式
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m•
AO
两边与向量
AB
作数量积,得
cosB
sinC
AB
2
+
cosC
sinB
AC
AB
=2m(
AD
+
DO
)•
AB

化为
cosB
sinC
c2+
cosC
sinB
bccosA=mc2
,∴
cosB
sinC
+
cosCcosA
sinB
b
c
=m

由正弦定理得
b
sinB
=
c
sinC
,∴
b
c
=
sinB
sinC

m=
cosB+cosCcosA
sinC
=
-cos(A+C)+cosCcosA
sinC
=sinA,
故选B.
点评:本题综合考查了三角形的外接圆的性质、向量的三角形法则、数量积运算、正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的圆心公式等基础知识与基本技能,考查了数形结合的能力、推理能力、计算能力.
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