Question

若(2x-

2

2

)9展开式的第7项为42，则

lim

n→∞

(x+x2+…+xn)=

2

．

Answer 1

分析：根据二项式定理，可得（2^x-

2

2

）⁹的展开式的通项，进而可以得到展开式的第7项，依题意，其展开式的第7项为42，可得关于x的关系式，解可得x的值，将x的值代入

lim

n→∞

(x+x2+…+xn)，由等比数列的前n项和公式，化简计算可得答案．

解答：解：（2^x-

2

2

）⁹的展开式的通项为 Tr+1=

C

r 9

(2 x)9-r(-

2

2

)r
∴展开式的第7项是T₇=

1

8

C₉⁶2^3x=

21

2

×2^3x，
∵展开式的第7项是42，即

21

2

×2^3x=42，
化简可得3x=2，
解可得，x=

2

3

，

lim

n→∞

(x+x2+…+xn)=

2 3

1 3

=2；
故答案为2．

点评：本题考查二项式定理的运用，解题的关键是结合题意并结合二项式定理，求出x的值．