Question

各项均为正数的等比数列{a_n}，a₁=1，a₂a₄=16，单调增数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=2，且6S_n=b_n²+3b_n+2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=

bn

an

（n∈N^*），求使得c_n＞1的所有n的值，并说明理由；
（3）证明{a_n}中任意三项不可能构成等差数列．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由a₂a₄=a₁²q⁴=q⁴=16，q²=4，知a_n=2^n-1，b₃=a₄=8．由6S_n=b_n²+3b_n+2，知（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1）=3（b_n+b_n-1），由此能够求出b_n=3n-1．
（2）由b_n=3n-1，知c_n=

bn

an

=

3n-1

2n-1

，由此能求出满足条件C_n＞1的所有n的值为1，2，3，4．
（3）假设{a_n}中存在三项p，q，r （p＜q＜r，p，q，R∈N*）使a_p，a_q，a_r构成等差数列，所以2•2^q-1=2^p-1+2^r-1．2^q-p+1=1+2^r-p．因左边为偶数，右边为奇数，故假设不成立，即不存在任意三项能构成等差数列．

解答： （1）解：∵a₂a₄=a₁²q⁴=q⁴=16，q²=4，∵a_n＞0，∴q=2，∴a_n=2^n-1
∴b₃=a₄=8．∵6S_n=b_n²+3b_n+2　①
当n≥2时，6S_n-1=b_n-1²+3b_n-1+2 ②
①-②得6b_n=b_n²-b_n-1²+3b_n-3b_n-1即（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1）=3（b_n+b_n-1）
∵b_n＞0∴b_n-b_n-1=3，∴{b_n}是公差为3的等差数列．
当n=1时，6b₁=b₁²+3b₁+2，解得b₁=1或b₁=2，
当b₁=1时，b_n=3n-2，此时b₃=7，与b₃=8矛盾；当b₁=3时b_n=3n-1，此时此时b₃=8=a₄，∴b_n=3n-1．
（2）解：∵b_n=3n-1，∴c_n=

bn

an

=

3n-1

2n-1

，∴c₁=2＞1，c₂=

5

2

＞1，c₃=2＞1，c₄=

11

8

＞1，c₅=

7

8

＜1，
下面证明当n≥5时，c_n＜1
事实上，当n≥5时，c_n+1-c_n=

3n+2

2n

-

3n-1

2n-1

=

4-3n

2n

＜0
即c_n+1＜c_n，∵c₅=

7

8

＜1
∴当n≥5时，C_n＜1，
故满足条件C_n＞1的所有n的值为1，2，3，4．
（3）证明：假设{a_n}中存在三项p，q，r （p＜q＜r，p，q，R∈N^*）使a_p，a_q，a_r构成等差数列，
∴2a_q=a_p+a_r，即2•2^q-1=2^p-1+2^r-1．∴2^q-p+1=1+2^r-p．
∵左边为偶数，右边为奇数，矛盾．
∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．

点评：题考查数列与不等式的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．