Question

19．在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x²+y²-12x-14y+60=0及其上一点A（2，4）．
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）把圆M的方程化为标准方程，结合条件，利用直线与圆、圆与圆的位置关系求出圆N的圆心和半径，可得圆N的标准方程．
（2）根据题意设出直线l的方程为y=2x+m，根据直线和圆相交的性质求出m的值，可得直线l的方程．

解答 解：（1）圆M的标准方程为（x-6）²+（y-7）²=25，所以圆心M（6，7），半径为5，
由圆心N在直线x=6上，可设N（6，y₀），∵圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0＜y₀＜7，于是圆N的半径为y₀，从而7-y₀=5+y₀，解得y₀=1．
因此，圆N的标准方程为（x-6）²+（y-1）²=1． 
（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为$\frac{4-0}{2-0}=2$．
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离$d=\frac{{|{2×6-7+m}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|{m+5}|}}{{\sqrt{5}}}$．
因为$BC=OA=\sqrt{{2^2}+{4^2}}=2\sqrt{5}$，而$M{C^2}={d^2}+（\frac{BC}{2}{）^2}$，
∴$25=\frac{{{{（{m+5}）}^2}}}{5}+5$，解得m=5或m=-15．
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0．

点评 本题主要考查求圆的标准方程，直线与圆、圆与圆的位置关系的应用，属于中档题．