Question

1．已知${（\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}）^n}\;（n∈{N_+}）$的展开式中第五项系数与第三项的系数的比值是10．
（1）求展开式的各项系数和及二项式系数和；
（2）求展开式中x^-1的项的系数；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项．

Answer 1

分析 通过展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1得到n值，然后求要求的特征项．

解答 解：（1）由题意，第五项系数和第三项系数比值是10，即$\frac{{C}_{n}^{4}•（-2）^{4}}{{C}_{n}^{2}•（-2）^{2}}$=10，
化简得n²-5n-24=0，解得n=8或n=-3（舍去）．
（1）令x=1得各项系数和为（1-2）⁸=1；二项式系数和2⁸=256；
（2）通项公式为T_r+1=$（-2）^{r}{C}_{8}^{r}{x}^{4-\frac{5r}{2}}$，
令4-$\frac{5r}{2}$=-1，则r=2，
所以展开式中含x^-1的项的系数为112；
（3）由2^r-1C₈^r-1≥2^rC₈^r，2^r-1C₈^r-1≥2^r-2C₈^r-2，解得r=5或6，
∴展开式中系数绝对值最大的项为T₆=-1792${x}^{-\frac{17}{2}}$，T₇=1792x¹¹．

点评 本题考查了二项式定理的运用；关键是利用已知求出指数后，找出二项式的展开式通项，根据x的指数求特征项．