Question

19．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，试求f（x）的最值，并写出取得最值时自变量x的取值．

Answer 1

分析 （1）通过凑角，把公式化简，从而求单调区间；（2）整体思想求三角函数在闭区间上的最值．

解答 解：（1）由题意知，f（x）=$sin（2x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}cos（2x+\frac{π}{3}）$=2sin$（2x+\frac{2π}{3}）$，
f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π．
当-$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
所以，f（x）的单增区间为[-$\frac{7π}{12}+kπ，-\frac{π}{12}+kπ]$，（k∈Z）．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，所以$\frac{π}{3}≤2x+\frac{2π}{3}≤\frac{4π}{3}$，
当2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{12}$时，f（x）取得最大值2；
当2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{4π}{3}$，即x=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最小值-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的化简及单调区间和最值的求法，运用了整体的思想，属于中档题．