Question

已知函数f(x)=

3

sin

x

2

+cos

x

2

（Ⅰ） 求f（x）的周期、对称中心、对称轴和单调递增区间；
（Ⅱ） 当x∈[0，π]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）先将函数转化成f（x）=2sin（

x

2

+

π

6

），然后根据T=

2π

1 2

=4π，对称中心

x

2

+

π

6

=kπ，对称轴

x

2

+

π

6

=kπ+

π

2

，单调递增区间2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，再将x求出即可．
（II）先求出

x

2

+

π

6

∈[

π

6

，

2

3

π]，然后根据正弦函数的特点求出值域．

解答：解：（I）f（x）=2（

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

）=2sin（

x

2

+

π

6

）
∴T=

2π

1 2

=4π
令

x

2

+

π

6

=kπ，得x=2kπ-

π

3

∴f（x）图象的对称中心为（2kπ-

π

3

，0）
令

x

2

+

π

6

=kπ+

π

2

，得x=2kπ+

2π

3

∴f（x）的对称轴为x=2kπ+

2π

3

令2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

得4kπ-

4

3

π≤x≤4kπ+

2

3

π
∴f（x）的递增区间为[4kπ-

4

3

π，4kπ+

2

3

π]
（II）由x∈[0，π]，得

x

2

+

π

6

∈[

π

6

，

2

3

π]，
∴sin(

x

2

+

π

6

)∈[

1

2

，1]
∴函数f（x）值域为[1，2]

点评：本题考查了正弦函数的定义域、值域、对称性、单调性、周期性等知识，熟练掌握知识可以提高做题效率，属于中档题．