Question

1．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos²A
（1）求角A的大小；
（2）已知$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$=4，求sinBsinC的值．

Answer 1

分析 （1）通过三角恒等变换，得到关于cosA的一个一元二次方程，求解cosA，从而求解角A．
（2）通过已知条件得到b²+c²=4bc，利用余弦定理，然后求解．

解答 解：（1）由题意可得：
3cosBcosC-3sinBsinC+2-2cos²A=0，
3cos（B+C）+2-2cos²A=0，
-3cosA+2-2cos²A=0，
2cos²A+3cosA-2=0，
解得cosA=$\frac{1}{2}$或cosA=-2（舍去），
又A为三角形内角，故角A=60°．
（2）由题意可得：
b²+c²=4bc，
联立余弦定理：b²+c²=a²+2bccosA可得a²=3bc，
又由正弦定理得：sinBsinC=$\frac{b}{a}sinA\frac{c}{a}sinA$=$\frac{bc}{{a}^{2}}si{n}^{2}A$=$\frac{1}{4}$．

点评 在解决此类问题时，要熟练掌握三角恒等变化，以及正弦定理，余弦定理．