Question

16．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设c_n=（n²+n）•2ⁿ，求数列$\{\frac{b_n}{c_n}\}$的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （I）S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），n=1时，1+a₂=4×1+2，解得a₂．n≥2时，a_n+1=S_n+1-S_n，化为：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），即b_n=2b_n-1，即可证明．
（II）由（I）可得：b_n=3×2^n-1，可得$\frac{{b}_{n}}{{c}_{n}}$=$\frac{3}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （I）证明：∵S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），∴n=1时，1+a₂=4×1+2，解得a₂=5．
n≥2时，S_n=4a_n-1+2，a_n+1=S_n+1-S_n=4a_n+2-（4a_n-1+2），化为：
a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），∴b_n=2b_n-1，b₁=a₂-2a₁=3．
∴数列{b_n}是等比数列，首项为3，公比为2．
（II）解：由（I）可得：b_n=3×2^n-1，
∴$\frac{{b}_{n}}{{c}_{n}}$=$\frac{3×{2}^{n-1}}{（{n}^{2}+n）•{2}^{n}}$=$\frac{3}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列$\{\frac{b_n}{c_n}\}$的前n项和T_n=$\frac{3}{2}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{3n}{2n+2}$．

点评 本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．