Question

8．如图，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点A是椭圆的上顶点，△AF₁F₂为等腰直角三角形，点P为椭圆任意一点，且|PF₁|的最小值为$\sqrt{2}$-1；以OP为直径作圆E，过F₁作OP的垂线交圆E于M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求|PM|的范围．

Answer 1

分析 （1）由△AF₁F₂为等腰直角三角形，可得b=c，|PF₁|的最小值为a-c=$\sqrt{2}$-1，再由a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆的方程；
（2）设直线OP的斜率为y=kx，代入椭圆x²+2y²=2，求得P的坐标，再求过F₁作OP的垂线方程，运用点到直线的距离公式，以及直角三角形的射影定理，可得|PM|²=|PO|d，化简整理，即可得到所求范围．

解答 解：（1）由△AF₁F₂为等腰直角三角形，
可得b=c，
|PF₁|的最小值为a-c=$\sqrt{2}$-1，
又a²-c²=b²，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）设直线OP的斜率为y=kx，
代入椭圆x²+2y²=2，可得
P（-$\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$，-k$\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$），
过F₁（-1，0）与OP的垂线设为y=-$\frac{1}{k}$（x+1），
即有P到垂线的距离为d=$\frac{|1-（1+{k}^{2}）\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
|OP|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）•\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$，
由三角形MPO为直角三角形，且PO⊥MF₁，
即有|PM|²=|PO|d=$\sqrt{（1+{k}^{2}）•\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$•$\frac{|1-（1+{k}^{2}）\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=|$\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$-$\frac{2（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$|，
设t=$\sqrt{1+2{k}^{2}}$（t≥1），即有2k²=t²-1，
则|PM|²=|$\frac{\sqrt{2}}{t}$-$\frac{1+{t}^{2}}{{t}^{2}}$|=|-（$\frac{1}{t}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²-$\frac{1}{2}$|
=（$\frac{1}{t}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
由0＜$\frac{1}{t}$≤1，可得t=$\sqrt{2}$，即k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，|PM|取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
$\frac{1}{t}$→0时，|PM|→1．
即有|PM|的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质：椭圆上一点到焦点的距离的最小值为a-c，考查直线和圆的位置关系，考查直线方程的运用和距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．