Question

5．设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值；
（2）已知a=3，若f（3x）≥λ•f（x）对于x∈[1，2]时恒成立．请求出 最大的整数λ

Answer 1

分析 （1）由奇函数的性质f（0）=0得k=2；
（2）根据a=3，将f（3x）≥λ•f（x）表示出来，利用换元法和参变量分离法，将不等式转化为λ≤t²+3对t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]恒成立，利用二次函数的性质，求得t²+3的最小值，即可求得λ的取值范围，从而得到答案．

解答 解：（1）由奇函数的性质f（0）=0得k=2
（2）由题意，即3^3x+3^-3x≥λ（3^x-3^-x），在x∈[1，2]时恒成立
令t=3^x-3^-x，x∈[1，2]，则t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]，
则（3^x-3^-x）（3^2x+3^-2x+1）≥λ（3^x-3^-x），x∈[1，2]恒成立，
即为t（t²+3）≥λ•t，t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]恒成立，
λ≤t²+3，t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]，恒成立，当t=$\frac{8}{3}$时，（t²+3）_min=$\frac{91}{9}$，
∴λ≤$\frac{91}{9}$，则λ的最大整数为10．，则λ的最大整数为10．

点评 本题考查函数的性质，考查了函数的恒成立问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题选用了参变量分离的方法转化成二次函数求最值问题．属于中档题．