Question

如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BB₁=BC=1，则二面角B₁-AC-B的余弦值为（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  1

  3

• C、

  5

  5

• D、

  2 5

  5

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角,空间向量及应用

分析：建立空间直角坐标系，求平面B₁AC和平面ACB的法向量，求法向量夹角的余弦值，从而求出这两个平面夹角的余弦值，而求平面B₁AC的法向量，根据法向量和平面内的两向量垂直求出即可．

解答： 解：如图，分别以DA，DC，DD₁所在直线为x轴，y轴，z轴建立D-xyz空间直角坐标系，能确定以下几点坐标：
A（1，0，0），B₁（1，2，1），C（0，2，0），B（1，2，0）；
∴

AB1

=(0，2，1)，

B1C

=(-1，0，-1)，B₁B=（0，0，-1）；
设平面B₁AC的法向量为

m

=(x，y，z)，则

m • AB1 =2y+z=0 m • B1C =-x-z=0

，∴

y=- z 2 x=-z

；
∴可取

m

=(-2，-1，2)，

B1B

为平面ACB的法向量，设向量

m

，

B1B

的夹角为θ，则：
cosθ=

m • B1B

| m || B1B |

=-

2

3

，∴二面角B₁-AC-B的余弦值为

2

3

．
故选A．

点评：考查通过建立空间直角坐标系，用向量的方法求二面角的余弦值，法向量的概念，两向量垂直的充要条件，共线向量基本定理，两向量夹角的余弦公式．