Question

已知函数h（x）=（m²-5m+1）x^m+1为幂函数，且为奇函数．
（1）求m的值；
（2）求函数g（x）=h（x）+

1-2h(x)

在x∈[0，

1

2

]的值域．

Answer 1

考点：幂函数的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）首先根据函数是幂函数，可知m²-5m+1=1，再验证相应函数的奇偶性，即可求得实数m的值，
（2）化简g（x），再求导，根据导数判断g（x）在∈[0，

1

2

]的为减函数，故求出值域

解答： 解：（1）∵函数h（x）=（m²-5m+1）x^m+1为幂函数，
∴m²-5m+1=1，
∴m=5或m=0，
当m=5时，h（x）=x⁶是偶函数，不满足题意，
当m=0时，h（x）=x是奇函数，满足题意；
∴m=0，
（2）∵g（x）=x+

1-2x

，
∴g′（x）=1-

1

1-2x

，
令g′（x）=0，解得x=0，
当g′（x）＜0时，即x＞0时，函数为减函数，
∴函数g（x）在[0，

1

2

]为减函数，
∴g（

1

2

）≤g（x）≤g（0）
即

1

2

≤g（x）≤1
故函数g（x）的值域为[

1

2

，1]

点评：本题考查的重点是幂函数的定义，函数奇偶性，以及利用导数判断函数的单调性，属于中档题．