Question

已知(

x

+

3	x

)n（其中7＜n＜15）的展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）写出它的展开式中的有理项．

Answer 1

分析：（1）先求出展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数，根据其成等差数列列出关于n的方程，解方程即可求出n的值．
（2）先求出展开式Tr+1=

C

r 14

x

14-r

2

x

r

3

=

C

r 14

x

42-r

6

，再根据展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数时成立即可求出结论．

解答：解：（1）(

x

+

3	x

)n（其中7＜n＜15）的展开式中第5项，第6项，第7项的二项式
系数分别是C_n⁴，C_n⁵，C_n⁶．
依题意得C_n⁴+C_n⁶=2C_n⁵，
即：

n!

4!(n-4)!

+

n!

6!(n-6)!

=2×

n!

5!(n-5)!

，…（3分）
化简得30+（n-4）（n-5）=12（n-4），即：n²-21n+98=0，
解得n=7或n=14，因为7＜n＜15所以n=14…（6分）
（2）展开式的通项  Tr+1=

C

r 14

x

14-r

2

x

r

3

=

C

r 14

x

42-r

6

…（10分）
展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，0≤r≤14，
所以展开式中的有理项共3项：r=0，T₁=C₁₄⁰x⁷=x⁷；
r=6，T₇=C₁₄⁶x⁶=3003x⁶；
r=12，T₁₃=C₁₄¹²x⁵=91x⁵…（12分）

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题、等差数列的定义．