Question

2．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，则关于函数f（x）的性质的结论正确的有①②③④（填序号）
①f（x）的图象关于点（-$\frac{1}{6}$，0）对称；
②f（x）的图象关于直线x=$\frac{4}{3}$对称；
③f（x）在[-$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}$]上为增函数；
④把f（x）的图象向右平移$\frac{2}{3}$个单位长度，得到一个偶函数的图象．

Answer 1

分析 由图象可得A=2，$\frac{T}{4}=\frac{π}{2ω}=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$⇒ω=2，故函数的解析式为：f（x）=2sin（πx+ϕ），
代入点（$\frac{5}{6}，0）$得2$sin（\frac{5π}{6}+ϕ）=0$，解得解得ϕ=$\frac{π}{6}$，
故函数的解析式为：f（x）=2sin（πx+$\frac{π}{6}$），再根据三角函数性质判定答案．

解答 解：由图象可得A=2，$\frac{T}{4}=\frac{π}{2ω}=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$⇒ω=2，
故函数的解析式为：f（x）=2sin（πx+ϕ），
代入点（$\frac{5}{6}，0）$得2$sin（\frac{5π}{6}+ϕ）=0$，解得解得ϕ=$\frac{π}{6}$，
故函数的解析式为：f（x）=2sin（πx+$\frac{π}{6}$）．
对于①，∵f（-$\frac{1}{6}$）=0，∴f（x）的图象关于点（-$\frac{1}{6}$，0）对称，故正确；
对于②，∵f（$\frac{4}{3}$）=-2为最小值，∴f（x）的图象关于直线x=$\frac{4}{3}$对称，故正确；
对于③，f（x）=2sin（πx+$\frac{π}{6}$）的增区间为[2k-.$\frac{2}{3}，2k+\frac{1}{3}$]，∴f（x）在[-$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}$]上为增函数，故正确；
对于④，把f（x）的图象向右平移$\frac{2}{3}$个单位长度，得到y=2sin（πx-$\frac{π}{2}$）=-2cosπx是一个偶函数，故正确．
故答案为：①②③④

点评 本题考查由图象确定函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的解析式，及三角函数的性质，属中档题．