Question

2．四棱锥P-ABCD的四条侧棱长相等，底面ABCD为正方形，M为PB的中点．
（1）求证：PD∥平面ACM；
（2）若PA=AB，求异面直线PD与DM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接OM，则PD∥OM，由此能证明PD∥平面ACM．
（2）异面直线PD与CM所成的角，即OM与CM所成的角，即∠OMC，由此能求出异面直线PD与DM所成角的正弦值．

解答 证明：（1）连接OM，正方形ABCD中，OB=OD，又M为PB中点，
∴PD∥OM，
∵OM?平面ACM，PD不在平面ACM内，
∴PD∥平面ACM．…（4分）
解：（2）由（1）知，异面直线PD与CM所成的角，
即OM与CM所成的角，即∠OMC，
令PA=AB=2，则$OM=\frac{1}{2}PD=\frac{1}{2}PA=1$，$OC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}BC=\sqrt{2}$，
又PC=PB=PA=2=BC，∴△PBC为正三角形，$CM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}BC=\sqrt{3}$，
在△OMC中，由OM²+OC²=MC²，∴OM⊥OC，
∴$sin∠OMC=\frac{OC}{MC}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
故异面直线PD与DM所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．