Question

19．如图，点O是△ABC的外心，以OA、OB为邻边作平行四边形OADB，再以OC、OD为邻边作平行四边形OCHD，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$；
（1）用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$表示向量$\overrightarrow{OH}$；
（2）证明：$\overrightarrow{AH}$⊥$\overrightarrow{BC}$；
（3）若在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，外接圆半径为2；求|$\overrightarrow{OH}$|．

Answer 1

分析 （1）运用向量的平行四边形法则，即可得到向量$\overrightarrow{OH}$；
（2）运用向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的加减运算，计算即可得证；
（3）运用（1）的结论和向量的平方即为模的平方和向量数量积的定义，结合圆的圆心角为圆周角的2倍，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$；
（2）证明：$\overrightarrow{AH}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{OH}$-$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）
=（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）=$\overrightarrow{OC}$²-$\overrightarrow{OB}$²=0，
则$\overrightarrow{AH}$⊥$\overrightarrow{BC}$；
（3）|$\overrightarrow{OH}$|²=（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²+$\overrightarrow{c}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+2$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$
=4+4+4+2×2×2×cos∠AOB+2×2×2×cos∠BOC+2×2×2×cos∠COA
=12+8（cos∠AOB+cos∠BOC+cos∠COA）
∵∠BAC=60°∴∠BOC=120°（圆心角是圆周角的两倍）
∴cos∠BOC=-$\frac{1}{2}$，
同理可得，cos∠AOC=0，cos∠AOB=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴|$\overrightarrow{OH}$|²=12+8×（-$\frac{1}{2}$+0-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=8-4$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{OH}$|=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查向量的运算法则、向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、向量的模的平方等于向量的平方、圆的圆心角等于圆周角的二倍，考查运算能力，属于中档题．