Question

3．已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率为$\frac{1}{2}$，且它的短轴端点恰好是双曲线$\frac{y^2}{8}-\frac{x^2}{4}=1$的焦点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，已知直线x=2与椭圆C相交于两点P，Q，点A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且总满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出此定值．若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆C的方程，利用离心率为$\frac{1}{2}$，且它的短轴端点恰好是双曲线$\frac{y^2}{8}-\frac{x^2}{4}=1$的焦点，求出几何量，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线方程代入椭圆方程，确定x₁+x₂，x₁-x₂，即可求得斜率．

解答 解：（I）设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意知，双曲线$\frac{y^2}{8}-\frac{x^2}{4}=1$的焦点为$（0，±2\sqrt{3}）$，所以可得b=2$\sqrt{3}$；
由$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得a=4，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．…（5分）
（II）由（I）易求得P（2，3），Q（2，-3），
因为∠APQ=∠BPQ，所以直线PA，PB的倾斜角互补，从而直线PA、PB的斜率之和为0，…（7分）
设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，直线PA的方程为y-3=k（x-2）
代入椭圆方程，可得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+2=$\frac{8（2k-3）k}{3+4{k}^{2}}$，
同理x₂+2=$\frac{8（2k+3）k}{3+4{k}^{2}}$
∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，x₁-x₂=$\frac{-48k}{3+4{k}^{2}}$
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$
∴直线AB的斜率为定值$\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．