Question

【题目】已知函数.

（1）若是的一个极值点，判断的单调性；

（2）若有两个极值点，，且，证明：.

Answer 1

【答案】（1）在单调递减，在单调递增.（2）见解析

【解析】

（1）求出导函数，由极值点求出参数，确定的正负得的单调性；

（2）求出，得极值点满足：

所以，由（1）即，不妨设.要证，则只要证，而，因此由的单调性，只要能证，即即可．令，利用导数的知识可证得结论成立．

（1）由已知得.

因为是的一个极值点，所以，即，

所以，

令，则，

令，得，令，得；

所以在单调递减，在单调递增，

又当时，，，

所以当时，，当时，；

即在单调递减，在单调递增.

（2），因此极值点满足：

所以由（1）即，不妨设.

要证，则只要证，而，因此由的单调性，只要能证，即即可．

令，

则，

当时，，，，所以，

即在单调递增，又，

所以，

所以，即，

又，，在单调递增，

所以，即.