Question

【题目】有最大值，且最大值大于.

（1）求的取值范围；

（2）当时，有两个零点，证明：.

(参考数据：)

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出函数的定义域为，，分和两种情况讨论，分析函数的单调性，求出函数的最大值，即可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围；

（2）利用导数分析出函数在上递增，在上递减，可得出，由，构造函数，证明出，进而得出，再由函数在区间上的单调性可证得结论.

（1）函数的定义域为，且.

当时，对任意的，，

此时函数在上为增函数，函数为最大值；

当时，令，得.

当时，，此时函数单调递增；

当时，，此时函数单调递减.

所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，

即，解得.

综上所述，实数的取值范围是；

（2）当时，，定义域为，

，当时，；当时，.

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

由于函数有两个零点、且，，

，

构造函数，其中，

，

令，，当时，，

所以，函数在区间上单调递减，则，则.

所以，函数在区间上单调递减，

，，

即，即，

，且，而函数在上为减函数，

所以，，因此，.