Question

【题目】已知动圆过定点，且圆心到直线的距离比大.

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）已知轨迹与直线相交于两点.试问，在轴上是否存在一个定点使得是一个定值？如果存在，求出定点的坐标和这个定值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，定点，

【解析】

（1）利用抛物线的定义即可；

（2）假设在轴上存在一个定点，设，，由直线方程和抛物线方程联立得到，，而，将根与系数的关系代入化简即可得到答案.

（1）∵动圆过定点，且圆心到直线的距离比大，

∴动圆到直线的距离等于圆心到定点的距离，

∴动圆圆心的轨迹是以定点为焦点，以定直线为准线的抛物线，

∴动圆圆心的轨迹的方程是；

（2）假设在轴上存在一个定点，使得是一个定值，

设，由，且由条件知，

得，代入，消去得：，

恒成立，，，

，

若是一个定值，则，

故在轴上存在一个定点，使得.