Question

11．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点A（0，4）作与抛物线的对称轴平行的直线交抛物线于点B，且4|BF|=5|AB|．
（1）求抛物线上的点到直线x-y+3=0的最短距离；
（2）是否存在过点A的直线l，直线l交抛物线于C，D两点，且使得BC⊥BD，若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过将B（m，4）代入抛物线方程可知m=$\frac{8}{p}$，利用4|BF|=5|AB|及抛物线定义可知p=4，进而可知抛物线方程为y²=8x，通过设与直线x-y+3=0平行且与抛物线相切的直线方程为x-y+t=0并与抛物线方程联立，利用根的判别式为0、两条平行线之间的距离公式计算即得结论；
（2）通过C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），设存在满足题意的直线l的方程为y=kx+4并与抛物线方程联立，利用韦达定理可知x₁+x₂=-$\frac{8（k-1）}{{k}^{2}}$、x₁x₂=$\frac{16}{{k}^{2}}$，通过$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BD}=0$化简计算可知k=-$\frac{4}{5}$，整理即得结论．

解答 解：（1）依题意，B（m，4），代入抛物线方程，
得：16=2pm，即m=$\frac{8}{p}$，
∵4|BF|=5|AB|，
∴$\frac{p}{2}$=|BF|-|AB|=（$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{4}$）$\frac{8}{p}$，
解得：p=4或p=-4（舍），
从而抛物线方程为：y²=8x，
设与直线x-y+3=0平行且与抛物线相切的直线方程为：x-y+t=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+t=0}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，整理得：y²-8y+8t=0，
令△=64-32t=0，得t=2，
于是所求值为$\frac{3-2}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）结论：存在满足条件的直线l方程y=-$\frac{4}{5}$x+4．
理由如下：
设存在满足题意的直线l的方程为：y=kx+4，
联立直线l与抛物线方程，整理得：k²x²+8（k-1）x+16=0，
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{8（k-1）}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16}{{k}^{2}}$，
∵BC⊥BD，B（2，4），
∴（x₁-2，y₁-4）•（x₂-2，y₂-4）=0，
整理得：（k²+1）x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
即（k²+1）•$\frac{16}{{k}^{2}}$+2•$\frac{8（k-1）}{{k}^{2}}$+4=0，
化简得：5k²+4k=0，
解得：k=-$\frac{4}{5}$或k=0（舍），
故直线l方程为：y=-$\frac{4}{5}$x+4．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．