Question

若正三棱锥的棱长为6cm，求它的内切球的表面积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离,球

分析：求出正三棱锥的高，求出正三棱锥的全面积和体积，设内切球的半径为r，以球心O为顶点，以棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，运用等积法可得球的半径，即可求出球的表面积．

解答： 解：由题意，底面外接圆的半径为

2

3

×

3

2

×6=2

3

，
∴正三棱锥的高为

62-(2 3 )2

=2

6

，
∵正三棱锥的所有棱长都等于6，
则S_全=4×

3

4

×6²=36

3

．V_P-ABC=

1

3

×

3

4

×36×2

6

=18

2

，
设内切球的半径为r，以球心O为顶点，
以棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，
则V₁+V₂+V₃+V₄=

1

3

rS_全=V_P-ABC，
∴r=

3VP-ABC

S全

=

3×18 2

36 3

=

6

2

，
∴S球=4πr²=4π×

6

4

=6π．
故答案为：6π．

点评：本题考查正三棱锥与内切球的关系，主要考查球的表面积公式的计算，确定球的半径是关键．