Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在轴上的截距为，l交椭圆于A、B两个不同点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求m的取值范围；

（3）求证直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形.

 

Answer 1

解：（1）设椭圆方程为

    则

    ∴椭圆方程

   （2）∵直线l平行于OM，且在轴上的截距为m

又

∴l的方程为：

由

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

    ∴m的取值范围是

   （3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁＋k₂=0即可

    设

    可得

   

    而

   

   

    ∴k₁＋k₂=0

    故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.