Question

10．求值：$\frac{1}{n（n+2）}$+$\frac{1}{（n+2）（n+4）}$+$\frac{1}{（n+4）（n+6）}$+…+$\frac{1}{（n+10）（n+12）}$=$\frac{6}{n（n+12）}$．

Answer 1

分析 通过裂项可知$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：∵$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴$\frac{1}{n（n+2）}$+$\frac{1}{（n+2）（n+4）}$+$\frac{1}{（n+4）（n+6）}$+…+$\frac{1}{（n+10）（n+12）}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+4}$+…+$\frac{1}{n+10}$-$\frac{1}{n+12}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+12}$）
=$\frac{6}{n（n+12）}$，
故答案为：$\frac{6}{n（n+12）}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．