题目内容
1.若log2(2m+n)=2log2$\sqrt{2mn}$-1,则m+n的取值范围为( )A. | [6,+∞) | B. | [3+2$\sqrt{2}$,+∞) | C. | (0,3+2$\sqrt{2}$] | D. | [3+$\sqrt{2}$,6) |
分析 根据题意,求出m、n的取值范围,并用n表示出m,求出m+n的表达式,
再利用基本不等式即可求出m+n的取值范围.
解答 解:∵log2(2m+n)=2log2$\sqrt{2mn}$-1,
∴log2(2m+n)=log2(2mn)-log22,
∴log2(2m+n)=log2(mn),
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+n>0}\\{mn>0}\\{2m+n=mn}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{m>0}\\{n>0}\\{n=\frac{2m}{m-1}}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{m>1}\\{n>0}\\{n=\frac{2m}{m-1}}\end{array}\right.$;
∴m+n=m+$\frac{2m}{m-1}$=m+2+$\frac{2}{m-1}$=(m-1)+$\frac{2}{m-1}$+3≥2$\sqrt{2}$+3,
当且仅当m-1=$\sqrt{2}$,即m=1+$\sqrt{2}$时取“=”,
∴m+n的取值范围是[3+2$\sqrt{2}$,+∞).
故选:B.
点评 本题考查了对数函数的性质与应用问题,也考查了不等式的解法与应用问题,是综合性题目.
练习册系列答案
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9.已知函数f(x)对x∈R,都有f(x+2)=f(x),当0≤x≤2时,f(x)=x(2-x),设g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{f(x),x≥0}\\{\frac{1}{50}x+1,x<0}\end{array}\right.$,则g(x)的图象中关于y轴对称的点共有( )
A. | 96对 | B. | 100对 | C. | 48对 | D. | 50对 |
13.设集合A={x||x|≤3},B={x|x=-y2+t,t∈R},若A∩B=∅,则实数t的取值范围是( )
A. | t<-3 | B. | t≤-3 | C. | t>3 | D. | t≥3 |