Question

已知曲线C₁：（为参数），曲线C₂：（t为参数）．
（1）指出C₁，C₂各是什么曲线，并说明C₁与C₂公共点的个数；
（2）若把C₁，C₂上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线．写出的参数方程．与公共点的个数和C公共点的个数是否相同？说明你的理由．

Answer 1

（1）的普通方程为，的普通方程为，所以与只有一个公共点；（2）压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．

试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用参数方程中参数将参数方程转化成普通方程，判断图形形状，再利用圆心到直线的距离与半径的关系判断直线与圆的位置关系；第二问，先将原和的纵坐标压缩为原来的一半，得到曲线和的参数方程，再转化成普通方程得到直线和椭圆，2个方程联立，消参，利用判别式判断有几个交点．
试题解析：（1）是圆，是直线．
的普通方程为，圆心，半径．
的普通方程为．                        2分
因为圆心到直线的距离为，
所以与只有一个公共点．                            4分
（2）压缩后的参数方程分别为
：（为参数）； ：（t为参数）．
化为普通方程为：：，：，     6分
联立消元得，
其判别式，     7分
所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．